Resolución de Problemas de las Olimpiadas Venezolanas de Matemáticas

En los diversos niveles de educación, inclusive el universitario, se ha apreciado una notable y sostenida dificultad de los estudiantes para resolver problemas matemáticos.

La investigación que este artículo resume se dedicó a determinar cómo influyen las características del enunciado de los PALAs sobre los procesos cognitivos involucrados en la comprensión de tal tipo de problema

A lo largo de los diversos niveles de educación, inclusive el universitario, se ha apreciado una notable y sostenida dificultad de los estudiantes para resolver  problemas matemáticos presentados en palabras y cuyos objetos son entidades ajenas al campo matemático, aunque dominen los conceptos, los algoritmos y demás conocimientos requeridos para efectuar las operaciones involucradas en su solución (Ministerio de Educación, Ministerio de Estado para el Desarrollo de la Inteligencia y Universidad de Harvard, 1984; Ocando, 1993).

La dificultad en la resolución de problemas literales aplicados se hace mayor si la resolución del problema requiere la formulación de ecuaciones o se ve facilitada mediante tal formulación. (Whimbey y Lochhead, 1993). Tal es el caso de problemas como el siguiente.

Una persona que conduce un bote en un río, demora el mismo tiempo en remar 2 Km contra la corriente que 6 Km a favor de la corriente.  Si la velocidad de la corriente del río es de 3 Km por hora, ¿cuál es la velocidad del bote en aguas tranquilas? (Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia, CENAMEC, 1983, p. 51)

El problema expuesto presenta la información requerida para su solución exclusivamente mediante palabras y símbolos de cantidades y medidas, hace referencia a objetos y conceptos ajenos al campo matemático (bote, río, velocidades, distancias y tiempos) y  puede resolverse mediante la representación simbólica o algebraica de la información esencial contenida o inferida en su enunciado, es decir, mediante el diseño de ecuaciones. En esta investigación, a los problemas que poseen estas características, se les ha dado el nombre de Problema Algebraico Literal Aplicado (PALA).

La investigación que este artículo resume se dedicó a darle respuesta al problema expresado en la siguiente interrogante: ¿cómo influyen las características del enunciado de los PALAs (como texto) sobre los procesos cognitivos involucrados en la comprensión de tal tipo de problema?

Se realizó en dos etapas. En la Fase 1 se buscó: (a) determinar los distintos tipos de proposición algebraica contenida en los enunciados de tales problemas; (b) identificar  las diversas estructuras proposicionales que pueden presentarse en dichos problemas y (c) proponer una clasificación de los PALAs de acuerdo con la estructura proposicional de su enunciado. Ello se logró mediante un análisis proposicional de los enunciados de los PALAs contenidos en las pruebas de las Olimpíadas Matemáticas realizadas por el Cenamec desde 1976 hasta 1998. En la Fase 2 se buscó: (a) identificar los procesos cognitivos involucrados en la representación algebraica de los PALAs y (b) describir la  posible relación entre la estructura proposicional de un PALA y estos procesos. Ello se logró mediante un análisis de protocolo, esto es, un análisis de la producción verbal (grabada) que hiciera un grupo de estudiantes de Educación mención Matemática de la Ucab durante el proceso de resolución de los PALAs.

por razones de espacio, no se ejemplificarán todos los resultados. Para estudiar los resultados a nivel concreto, el lector puede consultar a Requena (2000).

Dutante la primera fase, en los 109 problemas algebraicos literales aplicados de la muestra estudiada, se identificaron los siguientes cinco tipos de proposición: Dato, Relación Analítica, Interrogante, Relación Sintética Guía y Condición.

En los 109 PALAs analizados, las distintas clases de proposición identificadas aparecen combinadas de diversas maneras, ofreciéndole al enunciado al que pertenecen diferentes superestructuras o estructuras proposicionales.

Las distintas superestructuras o estructuras proposicionales que pueden identificarse en los PALAs y las distintas clases de este tipo de problema, a que dan lugar tales estructuras, son las cuatro siguientes: (a)  Estructura RAE, que genera un problema de la clase PALA de Relaciones Explícitas; (b)  Estructura D – C , correspondiente a un problema de la clase PALA de Datos; (c) Estructura RAE – D – C, la cual forma un problema de la clase PALA de Relaciones Explícitas y Datos; y (d) Estructura RSG – D – C, de la clase  PALA de Proposiciones Guías.

Nótese que en ninguna estructura aparece la Interrogante; ello es debido a que tal tipo de proposición está presente en todo problema, por lo que resulta innecesario mencionarla como parte de estructura alguna.

Como se describiera, para lograr los objetivos de esta fase se analizaron los protocolos de resolución ofrecidos por los participantes. Los protocolos en analizados su totalidad, con sus fragmentos categorizados y codificados de acuerdo con los procesos cognitivos inferidos de ellos, se encuentran en Requena (2000).  Igualmente puede hallarse en dicha fuente la definición y ejemplificación de cada uno de los procesos de la resolución, inferidos gracias al análisis de protocolo.

La Fase 2 permitió identificar procesos cognitivos pertenecientes a tres niveles de aplicación: (a) trece procesos generales, esto es, de aplicación en la resolución de cualquier tipo de problema; (b) nueve procesos particulares, es decir, de aplicación en la resolución de cualquier Problema Algebraico Literal Aplicado (PALA) y (c) siete procesos específicos, de aplicación en la resolución de alguna clase de PALA en particular.

Los trece procesos generales hallados mediante el análisis de protocolo son los siguientes: (a) Análisis Medio - fin; (b) Atención a la Incógnita; (c) Copia como Repaso de Mantenimiento; (d) Estrategia de Comprensión Analítica; (e)  Operación; (f) Parafraseo; (g) Razonamiento Analógico; (h) Razonamiento Estratégico; (i) Reconocimiento de Dificultad; (j) Relectura; (k) Revisión del Razonamiento; (l)  Reconocimiento de Objetivo; y (m) Toma de decisión.

Requena (2000) ofrece, para cada uno de éstos y de todos los restantes procesos identificados, el listado de todos los fragmentos de protocolo de los que se han inferido.

Los nueve (9) procesos que tienen aplicación general en la resolución de PALAs son los que siguen: (a) Aplicación de Esquema Matemático Proposicional; (b) Codificación Algebraica de Relación; (c) Codificación Algebraica de Variable; (d) Codificación Visual; (e) Deducción de Relación Matemática; (f) Interpretación de Codificación Visual; (g) Razonamiento Aritmético; (h) Recuperación de Conocimiento sobre Problemas Algebraicos; (i) Recuperación de Esquema Matemático Proposicional.

El proceso cognitivo que juega un papel central en el proceso global de representación algebraica del PALA de Relaciones explícitas, es el Reconocimiento de relación matemática.

Los  procesos cognitivos que resultan ser centrales en la representación algebraica del PALA de Datos son: (a) reconocimiento de dato; (b) reconocimiento de condición; (c) recuperación de conocimiento semántico e (d) inferencia de relación analítica.

Los procesos cognitivos que se han considerado centrales en la representación algebraica del PALA de Relaciones explícitas y datos son los siguientes: (a) reconocimiento de relación matemática; (b) reconocimiento de dato; (c) reconocimiento de condición y (d) inferencia de relación analítica.

La representación del PALA de Proposiciones guía exige específicamente los siguientes procesos cognitivos: (a) inferencia de relación sintética guía; (b) análisis de relación sintética guía e (c)  inferencia de relación analítica.

La Fase 2 de la investigación ha permitido identificar los procesos cognitivos que se activan específicamente durante el proceso de representación algebraica de cada una de las clases de PALAs. Esto es indicador de la existencia de una relación entre la clase de PALA y los procesos cognitivos de representación de tal tipo de problema.

La relación estructura del enunciado – proceso cognitivo, indicada por la identificación de los procesos específicos, es indicadora de una influencia ejercida por la estructura proposicional del enunciado de los PALAs sobre los procesos cognitivos involucrados en la representación algebraica de dichos problemas:  en términos del modelo de Estructura de Texto (Kinstsch y Van Dijk, 1978; Van Dijk y Kintsch, 1983), puede afirmarse que, de acuerdo con la superestructura del enunciado, el solucionador del problema debe activar unos procesos específicos que resultan centrales en el proceso global de la representación algebraica del problema. Tal hallazgo constituye el logro del objetivo general de la investigación.

Aparte de la anterior implicación teórica de los hallazgos de la presente investigación, y de las expuestas por el autor en su libro Resolución de Problemas de las Olimpíadas Matemáticas Venezolanas, también se pueden discutir unas implicaciones educativas, relacionadas con el estudio de la disciplina matemática y el desarrollo de habilidades para resolver problemas matemáticos. Para la discusión de estas implicaciones y de algunas sugerencias para futuras investigaciones, se sugiere consultar a Requena (2000).

Referencias
Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia. (1983).  Un Desafío a la Juventud. Caracas: Autor.
Kintsch, W. Y T. Vandijk. (1978). Toward a model of text comprehension and production. Psychologial Review. 85, 363-394. Ministerio de Educación, Ministerio de Estado para el Desarrollo de la Inteligencia y Universidad de Harvard (1984). Proyecto Inteligencia. Manual del Profesor. Sere de Lecciones IV.  Resolución de Problemas. Unidad 5. Poner en Claro los Sobreentendidos. Caracas: Autor.Ocando, C. (1993, Diciembre 6). Los bachilleres venezolanos tienen deficiente rendimiento académico.
El Universal, p. II20. Requena, M. (2000). Resolución de Problemas de las Olimpiadas Matemáticas Venezolanas. Caracas: Universidad Católica Andrés Bello y Fundación Polar. Van Dijk, T. y W. Kinsch. (1983). Strategies of Discourse Comprehension. New York: Academic Press. Whimbey, A. y Lochhead, J. (1993). Comprender y Resolver Problemas. Madrid: Visor
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